零向量与非零向量相乘等于什么在向量运算中，零向量与非零向量的乘积一个常见的难题。由于向量的乘法有多种形式（如点积、叉积等），不同类型的乘法结局也有所不同。这篇文章小编将从基本概念出发，拓展资料零向量与非零向量相乘的结局，并通过表格进行清晰对比。
一、基本概念回顾
– 零向量：所有分量均为0的向量，记作 $\vec0}$。
– 非零向量：至少有一个分量不为0的向量，记作 $\veca} \neq \vec0}$。
– 点积（数量积）：$\veca} \cdot \vecb} =
– 叉积（向量积）：$\veca} \times \vecb} =
– 数乘：$\lambda \veca}$，其中 $\lambda$ 为标量，结局为一个向量。
二、零向量与非零向量相乘的结局
1. 零向量与非零向量的点积
无论非零向量的路线怎样，只要其中一个向量是零向量，其点积结局始终为0。
即：
$$
\vec0} \cdot \veca} = 0
$$
2. 零向量与非零向量的叉积
叉积的结局是垂直于两个向量所确定平面的向量，但若其中一个向量为零向量，则结局也为零向量。
即：
$$
\vec0} \times \veca} = \vec0}
$$
3. 非零向量与零向量的点积
同理，非零向量与零向量的点积也为0。
即：
$$
\veca} \cdot \vec0} = 0
$$
4. 非零向量与零向量的叉积
非零向量与零向量的叉积结局也是零向量。
即：
$$
\veca} \times \vec0} = \vec0}
$$
5. 数乘情况
若用一个标量乘以零向量，结局仍为零向量；若用零向量乘以标量，结局也为零向量。
即：
$$
\lambda \cdot \vec0} = \vec0}, \quad \vec0} \cdot \lambda = \vec0}
$$
三、拓展资料表格
| 运算类型 | 表达式 | 结局 | 说明 |
| 点积 | $\vec0} \cdot \veca}$ | 0 | 零向量与任何向量点积为0 |
| 点积 | $\veca} \cdot \vec0}$ | 0 | 非零向量与零向量点积为0 |
| 叉积 | $\vec0} \times \veca}$ | $\vec0}$ | 零向量与任何向量叉积为零向量 |
| 叉积 | $\veca} \times \vec0}$ | $\vec0}$ | 非零向量与零向量叉积为零向量 |
| 数乘 | $\lambda \cdot \vec0}$ | $\vec0}$ | 标量与零向量相乘仍为零向量 |
| 数乘 | $\vec0} \cdot \lambda$ | $\vec0}$ | 零向量与标量相乘仍为零向量 |
四、重点拎出来说
无论是点积、叉积还是数乘，零向量与非零向量相乘的结局都具有明显的规律性。零向量在向量运算中扮演着“吸收元”的角色，即它与任何向量相乘都会产生一个“无意义”或“零”的结局。这一特性在物理和工程计算中具有重要意义，尤其是在处理力、速度、加速度等矢量时，有助于简化复杂运算。
